7,1Kolokvij

Bitno

Poglavlje 1: Kompleksni Brojevi

Definicije i teoretske osnove

• Kompleksni broj je svaki broj koji se može zapisati u obliku $z = x + yi$ gdje su $x$ i $y$ realni brojevi, a $i$ je imaginarna jedinica s osobinom $i^2 = -1$. Dio $x$ nazivamo realnim dijelom kompleksnog broja, a dio $y$ nazivamo imaginarnim dijelom. Zapisujemo $\Re(z) = x$ i $\Im(z) = y$.

• Algebra kompleksnih brojeva uključuje zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje, a ta se pravila temelje na svojstvu $i^2 = -1$.

• Modulus (apsolutna vrijednost) kompleksnog broja $z = x + yi$ definira se kao $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Geometrijski, ovo odgovara udaljenosti točke $(x, y)$ od ishodišta u kompleksnoj ravnini.

• Argument (arg z) je kut koji vektor $(x, y)$ zatvara s pozitivnim dijelom osi $x$ (u kompleksnoj ravnini), mjeri se u radijanima i obično se označava kao $\varphi$. Vrijedi $z = |z| (\cos \varphi + i\sin \varphi)$.

• Polarni oblik kompleksnog broja: $z = r \cdot e^{i\varphi}$, gdje je $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ i $\varphi = \arg(z)$.

• Eulerova formula: $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$. Ova formula povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i vrlo je korisna pri računanju potencija kompleksnih brojeva.

Poglavlje 2: Sustavi Linearnih Jednadžbi i Matrice

Definicije i teoretske osnove

• Matrica je pravokutna tablica brojeva razvrstanih po retcima i stupcima. Može se gledati i kao funkcija koja preslikava vektor iz jednog vektorskog prostora u drugi.

• Red veličine matrice sadrži broj retka i stupaca; zapisuje se npr. $A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ za matricu s $m$ redaka i $n$ stupaca.

• Regularna (invertibilna) matrica je kvadratna matrica $A$ za koju vrijedi $\det(A) \neq 0$. Ako je matrica invertibilna, postoji inverzna matrica $A^{-1}$ takva da $A \cdot A^{-1} = I$ (jedinična matrica).

• Determinanta je funkcija koja svakoj kvadratnoj matrici $A$ pridružuje realan broj $\det(A)$. Osnovna svojstva:

  • $\det(kA) = k^n \det(A)$ za $n\times n$ matricu.
  • $\det(A^T) = \det(A)$.
  • Ako je $A$ invertibilna, $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$.
  • Transponiranje, množenje i zbrajanje imaju specifične efekte na determinantu.

• Sustavi linearnih jednadžbi mogu se pisati kao $A x = b$, gdje je $A$ matrica koeficijenata, $x$ vektor nepoznanica, a $b$ vektor slobodnih članova. Rješenje se može tražiti:

  • Gaussovom metodom eliminacije, koja transformira sustav u trokutasti oblik i onda računamo varijable unatrag.
  • Korištenjem inverzne matrice (ako je $A$ invertibilna): $x = A^{-1} b$.

Poglavlje 3: Ravnine i Pravci

Definicije i teoretske osnove

• Jednadžba ravnine u trodimenzionalnom prostoru ($x, y, z$) može se zapisati u općem obliku $ax + by + cz + d = 0$, gdje $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ predstavlja normali vektor ravnine.

• Vektorska jednadžba ravnine: ako znamo točku $T_0 = (x_0, y_0, z_0)$ na ravnini i dva nezavisna vektora $\vec{u}$ i $\vec{v}$ koji su paralelni ravnini, tada svaka točka $T$ na toj ravnini zadovoljava $\vec{OT} = \vec{OT_0} + s\vec{u} + t\vec{v}$ gdje su $s$ i $t$ realni parametri.

• Paralelnost ravnina: dvije ravnine $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ i $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ su paralelne ako su njihovi normalni vektori razmjerne duljine, tj. $(a_1, b_1, c_1) = k(a_2, b_2, c_2)$ za neki skalar $k \neq 0$.

• Okomitost ravnina: ravnine su okomite ako su njihovi normalni vektori uzajamno okomiti, tj. ako je njihov skalarni produkt nula.

• Pravac u 3D često se zapisuju:

  • Parametarski oblik: $x = x_0 + at,\; y = y_0 + bt,\; z = z_0 + ct$.
  • Vektorski oblik: $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{d}$ gdje je $\vec{r_0}$ početni vektor točke na pravcu, a $\vec{d}$ je direktor vektor.

Poglavlje 4: Limes i Asimptote

Definicije i teoretske osnove

• Limes funkcije $f(x)$ u točki $a$ možemo neformalno gledati kao vrijednost kojoj se $f(x)$ približava dok se $x$ približava točki $a$. Zapisujemo $\lim_{x\to a} f(x) = L$.

  • Postoje pravila za zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje limesa.
  • Bez L’Hospitalovog pravila često koristimo algebarske manipulacije i standardne limes definicije.

• Asimptote:

  • Okomita asimptota javljaju se kod vrijednosti $x = a$ gdje funkcija „ide“ u beskonačnost (npr. $f(x) = 1/(x-a)$).
  • Vodoravna asimptota definira se kada $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = k$ za neku konstantu $k$.
  • Kosa asimptota se javlja kada funkciju pri $x\to \pm\infty$ možemo približiti linearnom funkcijom $y = mx + n$. Često se pronalazi razdiobom polinoma.

Poglavlje 5: Determinante i Matrice

Napomena: Ovo se djelomično preklapa s Poglavljem 2, no ovdje su naglašena dodatna svojstva.

Definicije i teoretske osnove

• Determinanta kvadratne matrice $A = (a_{ij})$ reda $n$ može se definirati na više načina (npr. Laplaceovom ekspanzijom). Najvažnija svojstva uključuju:

  • $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
  • Ako zamijenimo dva retka (ili dva stupca) u matrici, determinanta mijenja predznak.
  • Ako je jedan redak (ili stupac) linearna kombinacija ostalih, $\det(A) = 0$.

• Inverzna matrica $A^{-1}$ definira se samo kad je $\det(A) \neq 0$. Tada $A^{-1} A = I$.

• Transponiranje i svojstva: $(AB)^T = B^T A^T$, $(A^T)^T = A$, $\det(A^T) = \det(A)$.

Poglavlje 6: Vektori

Definicije i teoretske osnove

• Skalarni (dot) produkt vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$ u $\mathbb{R}^3$ definira se kao $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$, gdje je $\theta$ kut između vektora.

  • Ako je $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, tada su vektori okomiti (ortogonalni).
  • Također, $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ u koordinatnom obliku.

• Vektorski (križni) produkt $\vec{a} \times \vec{b}$ definira vektor koji je okomit i na $\vec{a}$ i na $\vec{b}$, a duljina mu je $|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$. Smjer se određuje pravilom desne ruke.

  • Geometrijski, $|\vec{a} \times \vec{b}| =$ površina paralelograma koji razapinju $\vec{a}$ i $\vec{b}$. Zato je $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$ površina trokuta.

• Projekcija vektora $\vec{a}$ na $\vec{b}$ je $\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$.

  • Duljina te projekcije je $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$, a predznak ovisi o orijentaciji.

Poglavlje 7: Funkcije

Definicije i teoretske osnove

• Funkcija $f$ iz skupa $D$ (domena) u skup $Kodomena$ je pravilo koje svakom elementu iz $D$ pridružuje točno jedan element iz kodomene.

• Domena (definicijsko područje): skup svih vrijednosti $x$ za koje je funkcija definirana.

• Slika (range) ili skup vrijednosti funkcije, obuhvaća sve moguće realne (ili kompleksne) rezultate funkcije.

• Inverzna funkcija $f^{-1}$ postoji ako je funkcija $f$ bijektivna (jedan-na-jedan i na), tj. ako je svaki element kodomene zauzet samo jednom vrijednosti iz domene.

• Kompozicija funkcija $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.

• Monotonost: funkcija je rastuća na intervalu ako veći $x$ daje veću vrijednost funkcije. Padajuća je ako je obratno.

• Ekstremne vrijednosti: lokalni minimumi i maksimumi gdje derivacija (ako postoji) prelazi iz pozitivne u negativnu ili obratno.

• Prekidne točke (diskontinuiteti): mjesta gdje funkcija nije kontinuirana. Postoje razne vrste (uklonjivi, pol, prijelaz na beskonačnost, skok).

---

Dodatne Definicije i Povezani Pojmovi

Osim navedenih, korisno je spomenuti i neke pojmove koji se često javljaju:

• Parna i neparna funkcija: $f$ je parna ako vrijedi $f(-x) = f(x)$, neparna ako je $f(-x) = -f(x)$.
• Binomni teorem: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
• Funkcije s apsolutnom vrijednošću: važna je analiza točaka gdje se argument apsolutne vrijednosti mijenja iz pozitivnog u negativno.

---

Pregled Formula i Oblika Koji se Često Koriste

U nastavku slijedi pregled najvažnijih formula iz prethodnih poglavlja:

1. Kompleksni brojevi

• Modulus: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• Argument: $\arg(z) = \varphi$ (kut s pozitivnom osi $x$)
• Trigonometrijski oblik: $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$
• Eksponencijalni (Eulerov) oblik: $z = r e^{i\varphi}$
• De Moivreova formula: $(r e^{i\varphi})^n = r^n e^{i n \varphi}$, odnosno $(\cos \varphi + i\sin \varphi)^n = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)$

2. Matrice i Sustavi

• Gaussova eliminacija (bez eksplicitne formule, već postupak, ali ključna je):

  1. Eliminiramo varijable korak-po-korak.
  2. Dobivamo trokutastu matricu.
  3. Vraćamo se unatrag.

• Inverzna matrica (za $2\times 2$ matricu $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$): $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

• Determinanta $2\times 2$ matrice: $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.

• Determinanta $3\times 3$ (formula s raspisivanjem, npr. Sarrusovo pravilo): $\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.$

3. Ravnine i Pravci

• Opća jednadžba ravnine: $ax + by + cz + d = 0$.
• Parametarska jednadžba pravca u $\mathbb{R}^3$: $x = x_0 + at,\; y = y_0 + bt,\; z = z_0 + ct$.
• Udaljenost točke $(x_0, y_0, z_0)$ od ravnine $ax + by + cz + d = 0$: $d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$

4. Limes i Asimptote

• Osnovni limesi (bez L’Hospitala) koriste:

  • $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
  • $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ za $n > 0$

• Asimptote:

  • Vodoravna: ako $\lim_{x\to \infty} f(x) = k$, tada $y = k$ vodoravna asimptota.
  • Kosa: ako $\lim_{x\to \infty} (f(x) - (mx + n)) = 0$ za neke $m, n$, tada je $y = mx + n$ kosa asimptota.

5. Determinante i Matrice (dopuna)

• Svojstva determinante:
  • $\det(AB) = \det(A)\cdot\det(B)$
  • $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$
  • $\det(A^T) = \det(A)$

6. Vektori

• Skalarni produkt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

  • Koordinatno: $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

• Vektorski produkt: $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \cdot \vec{n}$, gdje je $\vec{n}$ jedinični vektor okomit na ravninu koju razapinju $\vec{a}$ i $\vec{b}$.

• Projekcija: $\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$

7. Funkcije

• Domena i slika: $\mathrm{Dom}(f) \subseteq \mathbb{R}$, $\mathrm{Im}(f) = \{ f(x) : x \in \mathrm{Dom}(f) \}$

• Inverzna funkcija: $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ (potrebna je bijektivnost)

• Kompozicija: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

• Parna i neparna funkcija:

  • Parna: $f(-x) = f(x)$
  • Neparna: $f(-x) = -f(x)$

• Prekid: točka $a$ je prekid funkcije $f$ ako $\lim_{x\to a} f(x)$ ne postoji ili se ne podudara s $f(a)$.

Teorija

Podsjetnik za 1. Kol

1. Tjedan: Relacije, Funkcije, Skupovi Brojeva i Kompleksni Brojevi

1. Relacije

Definicija

• Relacija: Povezanost između elemenata dva skupa; podskup Kartezijevog produkta dva skupa.

Svojstva

1. Refleksivnost: $(a, a) \in R, \forall a \in A$
2. Simetričnost: $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$
3. Antisimetričnost: $(a, b) \in R \land (b, a) \in R \implies a = b$
4. Tranzitivnost: $(a, b) \in R \land (b, c) \in R \implies (a, c) \in R$

Posebne vrste relacija

• Relacija ekvivalencije: Refleksivna, simetrična, tranzitivna. (npr. "biti u istoj klasi")
• Relacija parcijalnog poretka: Refleksivna, antisimetrična, tranzitivna. (npr. "biti podskup")
• Relacija potpunog poretka: Svaka dva elementa su usporediva. (npr. $\leq$ na realnim brojevima)

2. Funkcije

Definicija

• Funkcija: Pravilo koje svakom elementu skupa $A$ pridružuje točno jedan element iz skupa $B$.

Vrste funkcija

1. Injektivne: $f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2$
2. Surjektivne: Slika funkcije jednaka kodomeni.
3. Bijektivne: Injektivne i surjektivne.

Posebne funkcije

• Polinomske: $f(x) = a_n x^n + \dots + a_0$
• Eksponencijalne: $f(x) = a^x$
• Logaritamske: $f(x) = \log_a(x)$
• Trigonometrijske: $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$

3. Skupovi Brojeva

• Prirodni brojevi: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$
• Cijeli brojevi: $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
• Racionalni brojevi: $\mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} \;| \;p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}$
• Iracionalni brojevi: npr. $\sqrt{2}$
• Realni brojevi: $\mathbb{R}$
• Kompleksni brojevi: $\mathbb{C} = a + bi, \; (i^2 = -1)$

4. Kompleksni Brojevi

• Modul: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Konjugirani: $\overline{z} = a - bi$
• Algebarski oblik: $z = a + bi$
• Trigonometrijski oblik: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$

5. Trigonometrijski oblik

• Množenje: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$
• Dijeljenje: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

6. Moivreove Formule

• $z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$

---

2. Tjedan: Matrice i linearni sustavi

1. Definicija matrice

• Matrica: Pravokutna tablica brojeva (elemenata) raspoređenih u $m$ redaka i $n$ stupaca. Označava se kao $A = [a_{ij}]$, gdje je $a_{ij}$ element u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu. Dimenzija matrice je $m \times n$.

Osnovne operacije

• Zbrajanje matrica: Moguće je samo za matrice istih dimenzija. Rezultat je matrica $C = A + B$, gdje je $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
• Množenje matrice skalarom: Matrica $A$ pomnožena skalarom $c$ daje matricu $B = cA$, gdje je $b_{ij} = c \cdot a_{ij}$.
• Množenje matrica: Moguće je samo ako broj stupaca prve matrice odgovara broju redaka druge matrice. Rezultat je matrica $C = AB$, gdje je $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$.

Gaussova eliminacija

• Gaussova eliminacija: Postupak za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Koristi se za svođenje proširene matrice sustava na stupnjeviti oblik (ešalonski oblik) kako bi se lakše pronašlo rješenje.
• Elementarne transformacije: Zamjena redaka, množenje retka skalarom različitim od nule, dodavanje jednog retka drugom.

Kronecker-Capellijev teorem

• Kronecker-Capellijev teorem: Sustav linearnih jednadžbi ima rješenje ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava. Rang matrice je maksimalni broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca matrice.

Dodatni pojmovi

• Rang matrice: Maksimalni broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca matrice.
• Determinanta: Skalarna vrijednost koja se može izračunati samo za kvadratne matrice. Koristi se za određivanje invertibilnosti matrice i rješavanje sustava linearnih jednadžbi.
• Inverzna matrica: Za kvadratnu matricu $A$, inverzna matrica $A^{-1}$ je takva da vrijedi $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, gdje je $I$ jedinična matrica.

---

3. Tjedan: Inverzna matrica, determinante i Cramerovo pravilo

Inverzna matrica

• Inverzna matrica: Za kvadratnu matricu $A$, inverzna matrica $A^{-1}$ je matrica za koju vrijedi $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, gdje je $I$ jedinična matrica.
• Postojanje: Inverzna matrica $A^{-1}$ postoji ako i samo ako je determinanta matrice $A$ različita od nule, tj. $\det(A) \neq 0$. Takve matrice nazivamo regularnim ili invertibilnim matricama.

Determinante

• Determinanta: Skalarna vrijednost pridružena kvadratnoj matrici. Koristi se za određivanje invertibilnosti matrice, rješavanje sustava linearnih jednadžbi i izračunavanje površina ili volumena.
• Izračunavanje:
  • Za matricu $2 \times 2$:
    $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
  • Za matricu $3 \times 3$ (Sarrusovo pravilo):
    $\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Cramerovo pravilo

• Cramerovo pravilo: Metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi s $n$ jednadžbi i $n$ nepoznanica, gdje je matrica sustava $A$ regularna.
• Rješenje: Ako je $\det(A) \neq 0$, tada je rješenje sustava dano s:
  $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$
  gdje je $A_i$ matrica dobivena zamjenom $i$-tog stupca matrice $A$ stupcem slobodnih članova.

---

4. Tjedan: Vektori i analitička geometrija

Osnovne operacije s vektorima

• Vektor: Usmjerena dužina s veličinom (intenzitetom) i smjerom. Može se prikazati uređenom $n$-torkom brojeva.
• Zbrajanje vektora:
  $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)$
• Množenje vektora skalarom:
  $c \cdot \vec{a} = (c \cdot a_1, c \cdot a_2, \dots, c \cdot a_n)$
• Skalarni produkt:
  $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \varphi$
  gdje je $\varphi$ kut između vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$.
• Vektorski produkt (samo u $\mathbb{R}^3$):
  $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

Jednadžbe pravca i ravnine

• Pravac u ravnini: Opća jednadžba pravca:
  $ax + by + c = 0$
  Parametarska jednadžba pravca:
  $\vec{r} = \vec{r}_0 + t \cdot \vec{d}$
  gdje je $\vec{r}_0$ točka na pravcu, $\vec{d}$ vektor smjera, a $t$ parametar.
• Ravnina u prostoru: Opća jednadžba ravnine:
  $ax + by + cz + d = 0$
  Parametarska jednadžba ravnine:
  $\vec{r} = \vec{r}_0 + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$
  gdje je $\vec{r}_0$ točka u ravnini, $\vec{u}$ i $\vec{v}$ vektori smjera, a $s$ i $t$ parametri.

Dodatni pojmovi

• Norma vektora: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$
• Kut između vektora: $\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

---

5. Tjedan: Funkcije realne varijable

Klasifikacija funkcija

• Funkcija: Pravilo koje svakom elementu iz skupa $X$ pridružuje točno jedan element iz skupa $Y$. Označava se kao $f: X \to Y$.
• Polinomske funkcije: Funkcije oblika $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$, gdje su $a_i$ realni brojevi.
• Racionalne funkcije: Kvocijent dviju polinomskih funkcija, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, gdje su $P(x)$ i $Q(x)$ polinomi.
• Eksponencijalne funkcije: Funkcije oblika $f(x) = a^x$, gdje je $a > 0$ i $a \neq 1$.
• Logaritamske funkcije: Inverzne funkcije eksponencijalnih funkcija, $f(x) = \log_a(x)$, gdje je $a > 0$ i $a \neq 1$.
• Trigonometrijske funkcije: Funkcije kao što su sinus, kosinus, tangens itd., definirane pomoću jedinične kružnice.

Limes funkcije

• Limes funkcije: Vrijednost koju funkcija $f(x)$ približava kada $x$ teži nekoj točki $a$. Označava se kao $\lim_{x \to a} f(x) = L$.
• Jednostrani limesi:
  • Desni limes: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ – vrijednost koju funkcija približava kada $x$ prilazi $a$ s desne strane.
  • Lijevi limes: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ – vrijednost koju funkcija približava kada $x$ prilazi $a$ s lijeve strane.
• Postojanje limesa: Limes $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji ako i samo ako su desni i lijevi limesi jednaki.

---

6. Tjedan: Neprekidnost funkcije i asimptote

Definicija neprekidnosti

• Neprekidnost funkcije: Funkcija $f(x)$ je neprekidna u točki $a$ ako su zadovoljena sljedeća tri uvjeta:
  1. $f(a)$ postoji (funkcija je definirana u $a$),
  2. $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji,
  3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• Neprekidnost na intervalu: Funkcija je neprekidna na intervalu ako je neprekidna u svakoj točki tog intervala.

Asimptote

• Asimptota: Pravac kojemu se graf funkcije približava kada $x$ ili $y$ teži u beskonačnost.
• Horizontalne asimptote: Pravac $y = L$ je horizontalna asimptota ako vrijedi:
  $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ ili $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$.
• Vertikalne asimptote: Pravac $x = a$ je vertikalna asimptota ako funkcija teži $\pm \infty$ kada $x$ prilazi $a$, tj.:
  $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ ili $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$.
• Kose asimptote: Pravac $y = kx + l$ je kosa asimptota ako vrijedi:
  $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$ i $\lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = l$ (ili za $x \to -\infty$).

Dodatni pojmovi

• Prekidi funkcije: Točke u kojima funkcija nije neprekidna. Mogu biti:
  • Uklonjivi prekid: Limes postoji, ali nije jednak $f(a)$.
  • Prekid prve vrste: Lijevi i desni limesi postoje, ali nisu jednaki.
  • Prekid druge vrste: Barem jedan od jednostranih limesa ne postoji ili je beskonačan.

Zadaci

1. Kolokvij ponavljanje

• Zadaci za ponavljanje gradiva (nije iz ispita)
• Relacije, Funkcije, Skupovi Brojeva i Kompleksni Brojevi

Zadatak 1: Relacije

Neka je na skupu $A = \{1, 2, 3, 4\}$ definirana relacija $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1), (3,4), (4,3)\}$. Ispitajte je li relacija $R$ refleksivna, simetrična, antisimetrična i tranzitivna.

Rješenje:

1. Refleksivnost: Relacija je refleksivna jer za svaki $a \in A$ vrijedi $(a, a) \in R$.
2. Simetričnost: Relacija je simetrična jer za svaki $(a, b) \in R$ vrijedi i $(b, a) \in R$.
3. Antisimetričnost: Relacija nije antisimetrična jer postoje parovi $(1,2)$ i $(2,1)$, ali $1 \neq 2$.
4. Tranzitivnost: Relacija je tranzitivna jer za sve parove $(a, b) \in R$ i $(b, c) \in R$ vrijedi $(a, c) \in R$.

---

Zadatak 2: Funkcije

Neka je funkcija $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definirana s $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. Ispitajte je li funkcija injektivna, surjektivna i bijektivna.

Rješenje:

1. Injektivnost: Provjerimo je li $f(a) = f(b) \implies a = b$.
   $f(a) = f(b) \implies a^3 - 3a^2 + 2a = b^3 - 3b^2 + 2b$.
   Ova jednadžba nije uvijek istinita, npr. za $a = 0$ i $b = 1$ vrijedi $f(0) = f(1) = 0$, ali $0 \neq 1$. Dakle, funkcija nije injektivna.
2. Surjektivnost: Funkcija je polinom trećeg stupnja, a polinomi neparnog stupnja su surjektivni na $\mathbb{R}$. Dakle, funkcija je surjektivna.
3. Bijektivnost: Funkcija nije bijektivna jer nije injektivna.

---

Zadatak 3: Kompleksni Brojevi

Neka su zadani kompleksni brojevi $z_1 = 1 + i$ i $z_2 = 2 - 3i$. Izračunajte $z_1 \cdot z_2$ i $\frac{z_1}{z_2}$.

Rješenje:

1. Množenje:
   $z_1 \cdot z_2 = (1 + i)(2 - 3i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i) = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i$.
2. Dijeljenje:
   $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{2 - 3i} \cdot \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{(1 + i)(2 + 3i)}{4 + 9} = \frac{2 + 3i + 2i + 3i^2}{13} = \frac{2 + 5i - 3}{13} = \frac{-1 + 5i}{13} = -\frac{1}{13} + \frac{5}{13}i$.

---

2. Tjedan: Matrice i linearni sustavi

Zadatak 1: Množenje matrica

Neka su zadane matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Izračunajte $AB$ i $BA$.

Rješenje:

1. Množenje $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}.$$
2. Množenje $BA$: $$BA = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 0 \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}.$$

---

Zadatak 2: Gaussova eliminacija

Riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi Gaussovom eliminacijom:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 3x + 8y + 7z = 20 \\ 2x + 7y + 9z = 23 \end{cases}$$

Rješenje:

1. Proširena matrica: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 3 & 8 & 7 & | & 20 \\ 2 & 7 & 9 & | & 23 \end{pmatrix}$$
2. Prvi korak: Oduzmemo prvi redak pomnožen s 3 od drugog retka i prvi redak pomnožen s 2 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 3 & 7 & | & 15 \end{pmatrix}$$
3. Drugi korak: Oduzmemo drugi redak pomnožen s 1.5 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$$
4. Supstitucija unatrag:
   • Iz trećeg retka: $z = 3$.
   • Iz drugog retka: $2y + 4 \cdot 3 = 8 \implies y = -2$.
   • Iz prvog retka: $x + 2 \cdot (-2) + 3 = 4 \implies x = 5$.
     Rješenje: $x = 5$, $y = -2$, $z = 3$.

---

Zadatak 3: Kronecker-Capellijev teorem

Provjerite ima li sljedeći sustav linearnih jednadžbi rješenje:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 4y + 6z = 20 \\ 3x + 6y + 9z = 30 \end{cases}$$

Rješenje:

1. Proširena matrica: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 4 & 6 & | & 20 \\ 3 & 6 & 9 & | & 30 \end{pmatrix}$$
2. Gaussova eliminacija:
   • Oduzmemo prvi redak pomnožen s 2 od drugog retka i prvi redak pomnožen s 3 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 3 & 6 & | & 12 \end{pmatrix}$$
   • Oduzmemo drugi redak pomnožen s 1.5 od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$
3. Rangovi: Rang matrice sustava je 2, a rang proširene matrice je također 2. Prema Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav ima rješenje.

---

3. Tjedan: Inverzna matrica, determinante i Cramerovo pravilo

Zadatak 1: Inverzna matrica

Nađite inverznu matricu matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$

Rješenje:

1. Determinanta:
   $\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$.
2. Inverzna matrica: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

---

Zadatak 2: Cramerovo pravilo

Riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi Cramerovim pravilom:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$$

Rješenje:

1. Matrica sustava: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 2 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 = -7.$$
2. Matrica $A_x$: $$A_x = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}, \quad \det(A_x) = 5 \cdot (-3) - 1 \cdot (-1) = -15 + 1 = -14.$$
3. Matrica $A_y$: $$A_y = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(A_y) = 2 \cdot (-1) - 5 \cdot 1 = -2 - 5 = -7.$$
4. Rješenje:
   $x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-14}{-7} = 2$,
   $y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-7}{-7} = 1$.
   Rješenje: $x = 2$, $y = 1$.

---

Zadatak 3: Determinanta

Izračunajte determinantu matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$$

Rješenje:

1. Sarrusovo pravilo:
   $\det(A) = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 2 \cdot 4 \cdot 9 - 1 \cdot 6 \cdot 8 = 45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48 = 0$.
   Determinanta je $0$, što znači da matrica nije invertibilna.

---

4. Tjedan: Vektori i analitička geometrija

Zadatak 1: Skalarni produkt

Neka su zadani vektori $\vec{a} = (1, 2, 3)$ i $\vec{b} = (4, -1, 2)$. Izračunajte skalarni produkt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ i kut između vektora.

Rješenje:

1. Skalarni produkt:
   $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 4 - 2 + 6 = 8$.
2. Kut između vektora:
   Norme vektora su:
   $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$,
   $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}$.
   Kut $\theta$ između vektora računamo kao:
   $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}} \approx 0.467$.
   Stoga je $\theta \approx \cos^{-1}(0.467) \approx 62.1^\circ$.

---

Zadatak 2: Vektorski produkt

Neka su zadani vektori $\vec{a} = (1, 0, 2)$ i $\vec{b} = (3, 1, -1)$. Izračunajte vektorski produkt $\vec{a} \times \vec{b}$.

Rješenje:

1. Vektorski produkt: $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) = \vec{i}(-2) - \vec{j}(-7) + \vec{k}(1) = (-2, 7, 1).$$

---

Zadatak 3: Jednadžba ravnine

Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama $A(1, 2, 3)$, $B(4, 5, 6)$ i $C(7, 8, 9)$.

Rješenje:

1. Vektori u ravnini:
   $\vec{AB} = B - A = (3, 3, 3)$,
   $\vec{AC} = C - A = (6, 6, 6)$.
2. Normala ravnine:
   $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 6 - 3 \cdot 6) - \vec{j}(3 \cdot 6 - 3 \cdot 6) + \vec{k}(3 \cdot 6 - 3 \cdot 6) = (0, 0, 0)$.
   Vektori $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ su kolinearni, pa točke leže na istom pravcu. Dakle, postoji beskonačno mnogo ravnina koje prolaze kroz te točke.

---

5. Tjedan: Funkcije realne varijable

Zadatak 1: Limes funkcije

Izračunajte limes funkcije $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ kada $x \to 2$.

Rješenje:

1. Rastav na faktore:
   $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ (za $x \neq 2$).
2. Limes:
   $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

---

Zadatak 2: Neprekidnost funkcije

Ispitajte je li funkcija $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{za } x \leq 1 \\ 2x & \text{za } x > 1 \end{cases}$ neprekidna u točki $x = 1$.

Rješenje:

1. Vrijednost funkcije u točki $x = 1$:
   $f(1) = 1^2 + 1 = 2$.
2. Lijevi limes:
   $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 2$.
3. Desni limes:
   $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2$.
4. Neprekidnost:
   Kako je $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$, funkcija je neprekidna u točki $x = 1$.

---

Zadatak 3: Asimptote

Odredite horizontalne i vertikalne asimptote funkcije $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 1}$.

Rješenje:

1. Horizontalne asimptote:
   $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 1} = 2$.
   Dakle, postoji horizontalna asimptota $y = 2$.
2. Vertikalne asimptote:
   Nazivnik je nula kada je $x^2 - 1 = 0 \implies x = 1$ ili $x = -1$.
   Provjerimo limese:
   $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$,
   $\lim_{x \to -1} f(x) = \infty$.
   Dakle, postoje vertikalne asimptote $x = 1$ i $x = -1$.

---

6. Tjedan: Neprekidnost funkcije i asimptote

Zadatak 1: Prekidi funkcije

Ispitajte prekide funkcije $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Rješenje:

1. Rastav na faktore:
   $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ (za $x \neq 1$).
2. Prekid u točki $x = 1$:
   Funkcija nije definirana u $x = 1$, ali postoji limes $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.
   Dakle, prekid je uklonjiv.

---

Zadatak 2: Kose asimptote

Odredite kosu asimptotu funkcije $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}$.

Rješenje:

1. Rastav na faktore:
   $f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1$ (za $x \neq -1$).
2. Kosa asimptota:
   Kako je $f(x) = x + 1$ za $x \neq -1$, kosa asimptota je pravac $y = x + 1$.

---

Zadatak 3: Neprekidnost na intervalu

Ispitajte je li funkcija $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ neprekidna na intervalu $[2, \infty)$.

Rješenje:

1. Područje definicije:
   Funkcija je definirana za $x^2 - 4 \geq 0 \implies x \leq -2$ ili $x \geq 2$.
   Na intervalu $[2, \infty)$ funkcija je definirana.
2. Neprekidnost:
   Funkcija $\sqrt{x^2 - 4}$ je neprekidna na svom području definicije, pa je neprekidna i na intervalu $[2, \infty)$.

Ispit

Što je relacija ekvivalencije?

Relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna

Relacija koja je samo refleksivna

Relacija koja je samo simetrična

Relacija koja je samo tranzitivna

Koja je definicija funkcije?

Pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje više elemenata drugog skupa

Pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element drugog skupa

Pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje nijedan element drugog skupa

Pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje beskonačno elemenata drugog skupa

Koji skup brojeva uključuje sve racionalne i iracionalne brojeve?

$\mathbb{N}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{R}$

$\mathbb{Q}$

Što je modul kompleksnog broja $z = a + bi$?

$a + b$

$a^2 + b^2$

$a - b$

$\sqrt{a^2 + b^2}$

Koja je dimenzija matrice $A$ ako ima 3 retka i 4 stupca?

$3 \times 4$

$4 \times 3$

$3 \times 3$

$4 \times 4$

Koja je definicija determinante matrice $2 \times 2$?

$a + b + c + d$

$ad - bc$

$a^2 + b^2$

$a \cdot d + b \cdot c$

Što je skalarni produkt dvaju vektora?

$|\vec{a}| + |\vec{b}|$

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \varphi$

$\vec{a} \times \vec{b}$

Koja je opća jednadžba pravca u ravnini?

$ax + by + c = 0$

$ax + by = c$

$ax^2 + by^2 = c$

$ax + by = 0$

Koja je definicija limesa funkcije?

Vrijednost funkcije u točki $a$

Vrijednost funkcije kada $x$ teži beskonačnosti

Vrijednost funkcije kada $x$ teži nuli

Vrijednost koju funkcija približava kada $x$ teži nekoj točki $a$

Što je horizontalna asimptota funkcije?

Pravac $x = a$

Pravac $y = L$

Pravac $y = kx + l$

Pravac $x = L$